Временная структура процентных ставок: от классических теорий до количественного моделирования и практического применения на финансовом рынке РФ

метки: Ставка, Доходность, Облигация, Рынок, Кривая, Инверсия, Краткосрочный, Бескупонный

Временная структура процентных ставок (ВСКПС) — это краеугольный камень современной финансовой экономики и инвестиционного анализа. Она представляет собой не просто абстрактное понятие, а ключевой индикатор, отражающий ожидания рынка относительно инфляции, денежно-кредитной политики и будущей экономической активности.

ПРИОРИТЕТ №1: РЕЛЕВАНТНЫЙ ФАКТ. За последние 50 лет каждая экономическая рецессия в США была предварена инверсией кривой доходности (спреда 10-летних и 2-летних бумаг), при этом временной лаг между инверсией и началом спада составлял в среднем от 7 до 20 месяцев. Эта поразительная историческая точность делает ВСКПС одним из самых надежных макроэкономических предсказателей.

Данное исследование нацелено на глубокий академический анализ теоретических моделей временной структуры процентных ставок и демонстрацию их практической применимости в оценке финансовых активов, таких как облигации и акции, а также в управлении инвестиционными портфелями на примере российского рынка.

Теоретические основы и ключевые понятия срочной структуры процентных ставок

Определение стоимости денег во времени является центральной задачей финансов. Временная структура процентных ставок, графически представленная Кривой Доходности (КД), служит инструментом для ее решения, предоставляя стандартизированную базу для оценки долговых инструментов с разными сроками погашения.

Экономическая сущность и графическое представление Кривой Доходности

Временная структура процентных ставок (ВСКПС, или срочная структура) представляет собой функциональную зависимость между доходностью к погашению и сроком до погашения для группы долговых ценных бумаг, которые имеют схожий кредитный риск (как правило, государственных облигаций), но различаются только по сроку. Графическое отображение этой зависимости получило название Кривой Доходности (Yield Curve). Кривая доходности отражает совокупность ожиданий рынка относительно будущих процентных ставок, премий за риск и динамики инфляции.

Существует три основных формы кривой доходности, каждая из которых несет уникальный экономический смысл:

1. Нормальная (Восходящая) Кривая. Является наиболее распространенной формой. Доходность долгосрочных облигаций выше, чем краткосрочных. Это отражает нормальную конъюнктуру рынка: инвесторы требуют более высокую премию за риск и ликвидность, связанную с длительным сроком, а также ожидают умеренную инфляцию и экономический рост.
2. Инверсная (Нисходящая) Кривая. Доходность краткосрочных облигаций превышает доходность долгосрочных. Это редкий и тревожный сигнал, указывающий на то, что рынок ожидает скорого экономического спада и последующего снижения ключевой ставки Центральным Банком.
3. Плоская Кривая. Доходность краткосрочных и долгосрочных облигаций примерно одинакова. Это может указывать на переходный период: либо экономика замедляется перед рецессией, либо она выходит из спада и рынок ожидает стабилизации ставок.

Ключевые типы процентных ставок и «купонный эффект»

Для построения истинной кривой доходности критически важно разграничить три ключевых типа ставок, используемых в финансовом анализе.

Облигации и Рынки Облигаций: Комплексный Академический Анализ ...

... на рынке, поскольку дефолт по ним равносилен дефолту всего государства. Отличаются высокой ликвидностью и служат бенчмарком для оценки процентных ставок в экономике. Муниципальные облигации: Эмитируются ... на доходность и стоимость, представим методы расчета и систематизируем риски. Особое внимание будет уделено актуальному состоянию и тенденциям российского и мирового рынков облигаций в ...

Доходность к Погашению (Yield to Maturity, YTM)

YTM — это внутренняя норма доходности (IRR) облигации, то есть ставка дисконтирования, приравнивающая текущую рыночную цену облигации к сумме приведенных стоимостей всех будущих денежных потоков (купонов и номинала).

Бескупонная Доходность (Zero-Coupon Yield Curve, ZCYC) или Спот-Ставка

Спот-ставка (R_n) — это текущая процентная ставка для периода, начинающегося сегодня и заканчивающегося через n периодов. Кривая бескупонной доходности (ZCYC) строится на основе доходностей гипотетических бескупонных облигаций (или путем «бутстреппинга» — последовательного извлечения спот-ставок из цен купонных облигаций).

ZCYC считается истинной срочной структурой ставок, поскольку она отражает стоимость денег для каждого отдельного срока без искажений.

Форвардная Ставка (f_n)

Форвардная ставка (f_n) — это процентная ставка, подразумеваемая текущими спот-ставками, для определенного периода, начинающегося в будущем. Форвардные ставки являются критически важными, так как отражают ожидания рынка относительно будущей динамики краткосрочных ставок. Теория чистых ожиданий использует форвардные ставки как ключевой механизм ценообразования.

В дискретном виде форвардная ставка для периода n, исходя из спот-ставок R_n и R_n-1, рассчитывается по следующей формуле:

f(n) = ((1 + R(n))^n / (1 + R(n-1))^(n-1)) - 1

Купонный Эффект и Необходимость ZCYC

Принципиальное отличие между YTM и ZCYC заключается в «купонном эффекте». Расчет YTM предполагает, что все купонные платежи реинвестируются по ставке, равной самой YTM. Если кривая доходности не является плоской, это допущение некорректно, поскольку реальные ставки реинвестирования будут соответствовать спот-ставкам на момент получения купона.

Временная структура процентных ставок: Теоретические основы, ...

... Ликвидность (Liquidity Premium). Математическое представление: Согласно этой теории, форвардная ставка (ft, t+1), выведенная из текущей кривой доходности, превышает ожидаемую будущую спот-ставку (E[rt, t+1]) на величину премии за ...

Вывод: Кривая YTM является простой в расчете, но искажает истинную структуру ставок, особенно для облигаций с высоким купоном. Кривая ZCYC (спот-ставок) устраняет это искажение, предоставляя необходимую базу для точного дисконтирования будущих денежных потоков и корректного расчета процентного риска (дюрации).

Фундаментальные теории формирования Кривой Доходности

Экономисты разработали три основные теории для объяснения того, почему кривая доходности принимает ту или иную форму. Эти теории не являются взаимоисключающими, а скорее дополняют друг друга, объясняя разные факторы, влияющие на ценообразование.

Теория чистых ожиданий

Теория чистых ожиданий (Pure Expectations Theory) основывается на предположении о нейтральности к риску со стороны инвесторов и идеальной взаимозаменяемости долговых инструментов с разными сроками. Согласно этому подходу, инвестор безразличен, инвестировать ли ему в одну 3-летнюю облигацию, или последовательно покупать три 1-летних облигации, поскольку в условиях равновесия общая доходность должна быть одинаковой.

Ключевое предположение: Долгосрочная процентная ставка представляет собой среднее значение (среднее геометрическое) текущей краткосрочной ставки и ожидаемых будущих краткосрочных ставок.

Математически это выражается в том, что долгосрочная ставка (R_n) определяется следующим образом:

(1 + R(n))^n = (1 + R(1)) * (1 + E(R(2))) * ... * (1 + E(R(n)))

Где E(R_k) — ожидаемая будущая краткосрочная ставка в период k.

Следствие теории: Форма кривой доходности полностью определяется исключительно ожиданиями рынка относительно будущей денежно-кредитной политики и инфляции. Если рынок ожидает повышения ставок, кривая будет восходящей; если ожидается их снижение, кривая будет инверсной. Какой же важный нюанс здесь упускается, если инвесторы на практике всегда требуют компенсации за риск?

Теория предпочтения ликвидности

Теория предпочтения ликвидности (Liquidity Preference Theory), выдвинутая Дж. М. Кейнсом, признает, что инвесторы, как правило, предпочитают ликвидность. Это означает, что они воспринимают долгосрочные облигации как более рискованные, чем краткосрочные, из-за более высокого процентного риска и меньшей гибкости.

Ключевое предположение: Для того чтобы убедить инвесторов зафиксировать свои средства на длительный срок, эмитент должен предложить премию за ликвидность (Liquidity Premium, L_n).

Эта премия возрастает с увеличением срока погашения.

Формула долгосрочной ставки в рамках этой теории модифицируется: долгосрочная ставка равна ожидаемой средней краткосрочной ставке плюс премия за ликвидность.

R(n) = (1/n) * Σ E(R(i)) + L(n)

Следствие теории: Поскольку премия L_n положительна и возрастает со сроком, кривая доходности, как правило, имеет восходящий наклон (нормальная форма) даже в том случае, если рынок ожидает, что будущие краткосрочные ставки останутся неизменными. Долгосрочные ставки оказываются выше ожидаемых краткосрочных, потому что инвесторы требуют компенсации за связывание капитала.

Теория сегментации рынка

Теория сегментации рынка (Market Segmentation Theory) утверждает, что инвесторы и заемщики имеют жесткие предпочтения в отношении сроков и не готовы переходить из одного сегмента рынка в другой, даже если ставки в соседнем сегменте более привлекательны.

Ключевое предположение: Рынок долговых инструментов сегментирован по срокам (например, краткосрочный, среднесрочный и долгосрочный), и процентные ставки в каждом сегменте определяются исключительно балансом спроса и предложения в этом конкретном сегменте.

Например, коммерческие банки предпочитают краткосрочные активы, чтобы соответствовать обязательствам перед вкладчиками, а пенсионные фонды и страховые компании предпочитают долгосрочные активы, чтобы соответствовать своим долгосрочным обязательствам.

Следствие теории: Форма кривой доходности может быть нерегулярной (с «горбами» или «впадинами»), поскольку ставки в разных сегментах могут сильно варьироваться в зависимости от конкретного дисбаланса спроса и предложения. Эта теория наилучшим образом объясняет аномальные формы кривой.

Количественное моделирование: Построение гладкой Кривой Бескупонной Доходности на рынке ОФЗ

Как было отмечено, рыночная кривая доходности к погашению (YTM) по купонным облигациям не является истинной ВСКПС из-за купонного эффекта. Для точного дисконтирования и управления рисками финансовым аналитикам необходимо построить гладкую и непрерывную Кривую Бескупонной Доходности (КБД). В количественных финансах для этого используются параметрические модели.

Модели Нельсона-Сигеля и Свенссона как основа

Наиболее распространенными и признанными в мировой практике являются модели, предложенные Нельсоном и Сигелем (1987), а также их модификация, разработанная Свенссоном (1994).

Модель Нельсона-Сигеля (Nelson-Siegel, NS)

Модель Нельсона-Сигеля является четырехпараметрической моделью, которая позволяет построить гладкую КБД, используя три базовые функции-фактора, описывающие форму кривой: уровень, наклон и кривизну.

Формула спот-ставки R(T) в модели Нельсона-Сигеля для срока T (при непрерывном начислении) выглядит так:

R(T) = β₀ + β₁ * ((1 - e^(-λT)) / (λT)) + β₂ * (((1 - e^(-λT)) / (λT)) - e^(-λT))

Интерпретация параметров модели критически важна:

Параметр	Экономический смысл	Влияние на форму кривой
β₀	Долгосрочный уровень ставки (асимптота)	Определяет высоту кривой, когда T → ∞.
β₁	Наклон (Slope)	Определяет общий тренд (разницу между длинными и короткими ставками).
β₂	Кривизна (Curvature)	Описывает изгиб кривой (наличие «горба» или «впадины») в среднем диапазоне сроков.
λ	Коэффициент распада (Rate of Decay)	Определяет, на каком сроке фактор кривизны оказывает максимальное влияние.

Модель Свенссона (Svensson, NSS)

Модель Свенссона (NSS) — это модификация NS, разработанная для повышения гибкости подгонки, особенно при наличии более сложных или нерегулярных форм кривой. Она добавляет два дополнительных параметра: β₃ и λ₂.

R(T) = β₀ + β₁ * ((1 - e^(-λ₁T)) / (λ₁T)) + β₂ * (((1 - e^(-λ₁T)) / (λ₁T)) - e^(-λ₁T)) + β₃ * (((1 - e^(-λ₂T)) / (λ₂T)) - e^(-λ₂T))

Добавление β₃ позволяет более точно моделировать второй пик кривизны, что часто необходимо для рынков с высокой волатильностью или при наличии сегментации.

Практика построения КБД (GCURVE) на Московской Бирже

На российском финансовом рынке ключевым эталоном безрисковой доходности является Кривая Бескупонной Доходности по государственным ценным бумагам (ОФЗ), известная как «G-кривая» (MOEX GCURVE).

Московская Биржа (MOEX) не использует чистую модель NS или NSS. Вместо этого применяется модифицированная параметрическая модель Нельсона-Сигеля-Свенссона, которая включает дополнительные корректирующие члены для достижения максимальной точности на рынке с относительно меньшей ликвидностью и большим разнообразием купонных выплат.

Специфика российской «G-кривой»:

1. Базовые параметры: Используются стандартные параметры Нельсона-Сигеля (β₀, β₁, β₂, λ).
2. Дополнительные динамические параметры (gᵢ): Для учета специфических факторов российского рынка (например, нетипичные спрэды между различными выпусками ОФЗ или сезонные факторы) MOEX добавляет до девяти динамических параметров (g₁ … g₉).

   Эти параметры позволяют модели точно подстраиваться под текущие цены на ликвидные выпуски ОФЗ.

3. Использование спот-ставок: Результатом работы модели является ежедневный (или даже внутридневной) набор спот-ставок (ZCYC) для сроков от 1 дня до 30 лет.

Таким образом, КБД Московской Биржи — это не просто теоретическая конструкция, а сложный количественный инструмент, откалиброванный на реальных сделках с ОФЗ, который предоставляет точную безрисковую ставку для каждого срока.

Кривая Доходности как опережающий макроэкономический индикатор

Кривая доходности является одним из наиболее мощных и, по мнению многих аналитиков, наиболее надежных опережающих индикаторов, поскольку рынок облигаций (где доминируют крупные институциональные инвесторы) часто раньше и точнее прогнозирует макроэкономические изменения, чем рынок акций.

Интерпретация форм кривой

Экономический смысл различных форм кривой доходности связан с ожиданиями относительно инфляции и действий Центрального Банка (ЦБ):

Форма Кривой	Экономическая Интерпретация	Ожидания рынка
Нормальная (Восходящая)	Стабильный рост экономики, низкие риски.	Умеренная инфляция, ЦБ сохранит или повысит ставку в долгосрочной перспективе.
Плоская	Замедление экономического роста, неопределенность.	ЦБ может начать снижение ставки, но неясно, когда.
Инверсная (Нисходящая)	Высокая вероятность рецессии или кризиса.	ЦБ вынужденно снизит ключевую ставку в ближайшем будущем для стимулирования экономики.

Инверсия как исторический предвестник рецессии

Инверсия кривой доходности (когда доходность краткосрочных бумаг, например, 2-летних, превышает доходность долгосрочных, например, 10-летних) является классическим индикатором грядущего спада. Что же лежит в основе такого феномена, почему инвесторы готовы получать меньшую доходность за более длительный срок?

Механизм возникновения инверсии:

1. Борьба с инфляцией: В преддверии инверсии Центральный Банк (например, Банк России) резко повышает ключевую ставку, чтобы сдержать инфляцию. Это приводит к росту краткосрочных ставок (2 года).
2. Ожидание спада: Инвесторы, ожидая, что ужесточение политики приведет к рецессии, прогнозируют, что ЦБ будет вынужден снизить ставки через 1-2 года.
3. Повышенный спрос на длинные бумаги: Инвесторы активно покупают долгосрочные облигации (10 лет), чтобы зафиксировать текущие, относительно высокие ставки на длительный срок, что, в свою очередь, снижает их доходность.

Спред между 10-летними и 2-летними государственными облигациями (10Y-2Y Spread) становится отрицательным, то есть кривая инвертируется. Исторический анализ показывает, что инверсия кривой доходности в крупнейших экономиках мира (США, Еврозона) является одним из самых надежных предвестников рецессии, обычно с лагом 7-20 месяцев. И что из этого следует? Следует то, что финансовые менеджеры должны использовать этот индикатор не как единственное пророчество, а как критический сигнал, требующий немедленного пересмотра портфельных стратегий и увеличения ликвидности.

Применение Кривой Доходности в количественной оценке активов и управлении рисками

Кривая Бескупонной Доходности (ZCYC), построенная с использованием количественных моделей, является не просто аналитическим инструментом, но и критически важным исходным данным для ключевых финансовых моделей оценки активов и управления рисками.

Определение безрисковой ставки (R_f) для оценки активов

В большинстве моделей финансового анализа требуется опр��деление безрисковой ставки доходности (R_f). В России в качестве R_f обычно используются доходности по ОФЗ — государственным облигациям с минимальным кредитным риском.

При оценке актива (например, проекта или акции) необходимо, чтобы срок R_f соответствовал сроку денежных потоков или горизонту оценки. Если мы оцениваем компанию, предполагая ее существование в течение 5 лет, то в качестве R_f должна быть взята спот-ставка (R₅), извлеченная непосредственно из Кривой Бескупонной Доходности ОФЗ (MOEX GCURVE) для срока 5 лет.

Оценка требуемой доходности с использованием модели CAPM

Модель оценки капитальных активов (Capital Asset Pricing Model, CAPM) — это фундаментальный инструмент для оценки требуемой доходности рискового актива (E(Rᵢ)) и определения премии за систематический риск.

Линия рынка ценных бумаг (Security Market Line, SML) в рамках CAPM описывается формулой:

E(Rᵢ) = R_f + βᵢ * (E(Rₘ) - R_f)

Где:

• E(Rᵢ) — требуемая доходность актива i.
• R_f — безрисковая ставка, взятая с КБД.
• E(Rₘ) — ожидаемая доходность рыночного портфеля (например, индекс Московской Биржи).
• (E(Rₘ) — R_f) — премия за рыночный риск (Market Risk Premium).
• βᵢ (Бета-коэффициент) — мера систематического риска актива i.

Роль R_f в CAPM: Точность оценки требуемой доходности E(Rᵢ) напрямую зависит от корректного выбора R_f. Если использовать некорректную ставку (например, краткосрочную, когда горизонт оценки долгосрочный, или YTM вместо ZCYC), это приведет к ошибке в определении премии за рыночный риск, искажая конечную оценку стоимости.

Расчет Бета-коэффициента: Бета измеряет чувствительность доходности актива Rᵢ к изменениям доходности рынка Rₘ:

βᵢ = cov(Rᵢ, Rₘ) / σ²ₘ

Где cov(Rᵢ, Rₘ) — ковариация доходностей актива и рынка, а σ²ₘ — дисперсия доходности рыночного портфеля.

Расчет дюрации и управление процентным риском

Кривая доходности является незаменимой базой для измерения процентного риска облигаций. Ключевым показателем в этом контексте является дюрация.

Дюрация Маколея (DMac) — это средневзвешенный срок жизни денежных потоков облигации, где весами выступают приведенные стоимости этих потоков.

Однако для практического управления риском используется Модифицированная Дюрация (MD), которая напрямую измеряет процентное изменение цены облигации при изменении доходности на 1%. Для годового начисления формула, связывающая MD и DMac, имеет вид:

MD = D_Mac / (1 + YTM)

Критическое значение ZCYC: Чтобы точно оценить процентный риск, необходимо использовать именно Модифицированную Дюрацию, рассчитанную с помощью спот-ставок (ZCYC), а не YTM. Если аналитик использует YTM, он автоматически включает в расчет «купонный эффект» (ошибочное допущение о реинвестировании), что приводит к некорректной оценке чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок.

Таким образом, точно построенная КБД позволяет финансовому менеджеру:

1. Точно измерить процентный риск портфеля (показатель MD).
2. Использовать дюрацию для хеджирования: путем подбора облигаций с отрицательной корреляцией или использования процентных деривативов для нейтрализации чувствительности портфеля к изменению ставок.

Заключение

Временная структура процентных ставок представляет собой многомерный феномен, который служит одновременно и теоретической основой для оценки стоимости денег, и мощным практическим инструментом для прогнозирования макроэкономических тенденций и управления финансовыми рисками.

Мы установили, что классические теории (ожиданий, ликвидности, сегментации) обеспечивают концептуальную базу для понимания формы кривой доходности, но они недостаточны для построения точной, гладкой кривой в реальных рыночных условиях.

Для обеспечения методологической корректности необходимо исключать «купонный эффект», используя Кривую Бескупонной Доходности (ZCYC).

Современные количественные модели, такие как модифицированные модели Нельсона-Сигеля и Свенссона, адаптированные, например, Московской Биржей для расчета «G-кривой», позволяют построить этот критически важный эталон.

Главные выводы:

1. Прогностическая ценность: Инверсия кривой доходности остается одним из самых надежных опережающих индикаторов рецессии, что подтверждается историческими данными и объясняется ожиданиями рынка относительно будущих действий ЦБ.
2. Критическая база для оценки: Точная спот-ставка, извлеченная из КБД ОФЗ, является обязательной безрисковой ставкой (R_f) для моделей оценки рисковых активов, таких как CAPM, определяя требуемую доходность акций и других инвестиций.
3. Управление риском: Использование КБД критически важно для точного расчета Модифицированной Дюрации (MD), что позволяет финансовым аналитикам корректно измерять процентный риск облигаций и эффективно управлять им.

Дальнейшие исследования могут быть сосредоточены на оценке эффективности безрисковых моделей (например, Нельсона-Сигеля) в условиях повышенной макроэкономической неопределенности и на анализе влияния неконвенциональной денежно-кредитной политики на форму кривой доходности российского рынка.

Список использованной литературы

1. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов: учебное пособие. Москва: Федеративная Книготорговая Компания, 1998. 352 с.
2. Буклемишев О., Поманский А. Премия за риск и временная процентных ставок // Экономика и математические методы. 1992. № 28-2. С. 252–260.
3. Богатин Ю.В., Швандар В.А. Инвестиционный анализ. Москва: ЮНИТИ, 2001. 286 с.
4. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: полный курс: В 2 т. Санкт-Петербург: Экономическая школа, 2004. 1166 с.
5. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ, 2005. 525 с.
6. Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами. Москва: Финансы и статистика, 2001. 800 с.
7. Дробышевский М.П. Обзор теорий временной структуры процентных ставок. Москва: ИЭПП, 2006. 416 с.
8. Количественные методы финансового анализа / под ред. С. Брауна, М. Крицмена. Москва: ИНФРА-М, 1996. 336 с.
9. Килячков А.А., Чалдаева Л.А. Практикум по российскому рынку ценных бумаг. Москва: Издательство БЕК, 1999. 784 с.
10. Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С.
11. Маршалл Джон Ф., Бансал Випул К. Финансовая инженерия: Полное руководство по финансовым нововведениям: пер. с англ. Москва: ИНФРА-М, 1998. 784 с.
12. Рынок ценных бумаг и его финансовые институты: учебное пособие / под ред. В.С. Торкановского. Санкт-Петербург: АО «Комплект», 2004. 421 с.
13. Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. Москва: ИНФРА–М, 2001. 287 с.
14. Лукасевич И.Я. Финансовый менеджмент: учебник. Москва: Эксмо, 2009. 768 с. (Высшее экономическое образование).
15. Чесноков А.С. Инвестиционная опционы и фьючерсы. 5-е изд. Москва: ПАИМС, 2005. 112 с.
16. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций: монография. Москва: Дашков и К., 2003. 544 с.
17. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Д.В. Инвестиции. Москва: ИНФРА-М, НФПК NTF, 2004. 1028 с.
18. Инверсия кривой доходности: что это и как на ней заработать // Finam.ru. URL: https://www.finam.ru (дата обращения: 08.10.2025).
19. Инверсия кривой доходности — самый лучший макроэкономический индикатор для частного инвестора // vc.ru. URL: https://vc.ru (дата обращения: 08.10.2025).
20. Всадник рецессии: инверсия кривой доходности // Invest-heroes.ru. URL: https://invest-heroes.ru (дата обращения: 08.10.2025).
21. Что такое инверсия кривой доходности и почему она возникает? // Tbank.ru. URL: https://tbank.ru (дата обращения: 08.10.2025).
22. Моделирование временной структуры процентных ставок // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru (дата обращения: 08.10.2025).
23. Кривая бескупонной доходности на рынке ГКО-ОФЗ // Moex.com. URL: https://www.moex.com (дата обращения: 08.10.2025).
24. МЕТОД СВЕНСОНА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КРИВОЙ ДОХОДНОСТИ // Ecsn.ru. URL: https://ecsn.ru (дата обращения: 08.10.2025).
25. О БЕЗАРБИТРАЖНЫХ МОДЕЛЯХ ДОХОДНОСТИ НЕЛЬСОНА – СИГЕЛЯ – СВЕНССОНА // Bsu.by. URL: https://bsu.by (дата обращения: 08.10.2025).
26. Методика расчета Кривой бескупонной доходности по государственным ценным бумагам // Cbonds.info. URL: https://cbonds.info (дата обращения: 08.10.2025).
27. Анализ государственной политики России по управлению уровнем и структурой процентных ставок // Hse.ru. URL: https://hse.ru (дата обращения: 08.10.2025).
28. Модель САРМ и ее использование при оценке финансовых активов // Cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru (дата обращения: 08.10.2025).
29. Выбор модели срочной структуры процентных ставок на основе ее свойств // Hse.ru. URL: https://hse.ru (дата обращения: 08.10.2025).