Дисконтирование по простым процентным ставкам: полное руководство для студентов экономических и финансовых специальностей

метки: Процент, Ставка, Дисконтирование, Стоимость, Сумма, Финансовый, Рубль, Операция

Ежедневно миллиарды долларов, евро, рублей и других валют перемещаются по миру, обслуживая бесчисленные транзакции — от краткосрочных межбанковских кредитов до многолетних инвестиционных проектов. В основе каждого из этих финансовых потоков лежит незыблемый принцип: деньги обладают «временной стоимостью». Именно эта концепция диктует, что 1000 рублей сегодня – это не то же самое, что 1000 рублей завтра, и уж тем более через год. Сегодняшние 1000 рублей, помещенные в банк или инвестированные, могут принести доход и превратиться в 1100, 1200 или даже больше. И наоборот, будущие 1000 рублей, чтобы стать эквивалентными сегодняшним, должны быть «приведены» к настоящему моменту, то есть дисконтированы.

В мире финансов дисконтирование выступает как один из важнейших аналитических инструментов, позволяющий оценить будущие денежные потоки в терминах их текущей стоимости. Это краеугольный камень для принятия обоснованных решений — от оценки инвестиционных проектов и банковских продуктов до анализа стоимости ценных бумаг. В данном руководстве мы сосредоточимся на одном из фундаментальных методов — дисконтировании по простым процентным ставкам. Этот подход, несмотря на свою кажущуюся простоту, является основой для понимания более сложных финансовых моделей и незаменим в анализе краткосрочных операций.

Цель этого материала — предоставить студентам экономических и финансовых специальностей исчерпывающее, академически строгое и практически ориентированное руководство. Мы не просто представим формулы, но и глубоко погрузимся в экономическую сущность каждого понятия, рассмотрим нюансы применения различных временных баз, проведем сравнительный анализ методов и ставок, а также обозначим ограничения и применимость данного инструмента. Особое внимание будет уделено пошаговым примерам, которые позволят закрепить теоретические знания на практике, делая материал идеальным подспорьем для подготовки и успешного выполнения контрольных работ по финансовой математике.

Введение: Временная стоимость денег и роль дисконтирования

В основе всей финансовой теории лежит концепция, которая звучит парадоксально просто: деньги сегодня стоят дороже, чем та же сумма денег в будущем. Эта аксиома, известная как временная стоимость денег (ВСД, от англ. Time Value of Money, TVM), является фундаментальным камнем, на котором строится вся современная экономика. Почему это так? Причин несколько:

Критический анализ теоретико-методологических основ оценки доходности ...

... дисконтирования дивидендов (DDM) основана на фундаментальном принципе финансового анализа: внутренняя стоимость обыкновенной акции ($V$) равна текущей приведенной стоимости (PV) всех будущих дивидендов, которые, как ожидается, будут получены в ...

• Возможность инвестирования: Деньги, которыми мы обладаем сегодня, могут быть инвестированы или размещены на депозите, принося доход в виде процентов. Таким образом, завтра они станут большей суммой, ведь возможность получить доход всегда предпочтительнее простого хранения.
• Инфляция: Со временем покупательная способность денег снижается из-за роста цен. Сумма, полученная в будущем, скорее всего, позволит приобрести меньше товаров и услуг, чем та же сумма сегодня, что существенно обесценивает будущие поступления.
• Риск и неопределенность: Будущее всегда сопряжено с риском. Есть вероятность, что будущие денежные потоки могут не состояться или произойти с задержкой. Предпочтение отдается получению денег сейчас, чтобы избежать этих рисков, поскольку гарантированная сумма сегодня всегда надежнее обещаний завтра.

Именно в этом контексте на сцену выходит дисконтирование. Если наращение отвечает на вопрос «сколько мои сегодняшние деньги будут стоить в будущем?», то дисконтирование решает обратную задачу: «сколько стоит сегодня та сумма, которую я получу в будущем?». Это процесс приведения будущих денежных потоков к их эквивалентной стоимости на текущий момент времени. Без дисконтирования невозможно было бы сравнивать инвестиционные проекты с разными сроками окупаемости, оценивать эффективность долгосрочных вложений или корректно учитывать стоимость обязательств. Оно позволяет финансовым аналитикам и инвесторам говорить на одном языке, приводя все будущие доходы и расходы к единому, сопоставимому значению — их настоящей стоимости.

Данное руководство призвано стать вашим надежным проводником в мир дисконтирования по простым процентным ставкам. Мы детально разберем каждый аспект, от базовых определений до сложных практических нюансов, снабдив изложение множеством примеров. Наша цель — не просто дать вам набор формул, но и помочь глубоко понять логику их работы, чтобы вы могли уверенно применять эти знания при решении самых разнообразных финансовых задач.

Фундаментальные понятия финансовой математики

Для того чтобы погрузиться в тонкости дисконтирования по простым процентам, необходимо сначала вооружиться четким и однозначным пониманием ключевых терминов, которые формируют основу финансовой математики. Эти определения – не просто сухая теория, а строительные блоки, из которых возводятся все дальнейшие расчеты и аналитические модели.

Базовые определения

Давайте разберемся в основных понятиях, без которых невозможно представить себе финансовую математику:

• Дисконтирование: Процесс определения текущего финансового эквивалента будущей денежной суммы. Иными словами, это приведение будущей денежной суммы к настоящему моменту времени. Более кратко, это уменьшение суммы денег, относящейся к будущему, в связи с учётом процентов.
• Наращение (Компаундинг): Процесс, обратный дисконтированию, — увеличение первоначальной денежной суммы за счет присоединения начисленных процентов.
• Дисконт (Скидка): Величина учтённых процентов, то есть разница между будущей и настоящей стоимостью (FV − PV).
• Наращенная (будущая) денежная сумма (FV — Future Value): Первоначальная денежная сумма вместе с начисленными процентами к определенному моменту в будущем.
• Настоящая (современная, текущая, приведенная) денежная сумма (PV — Present Value): Величина капитала, имеющегося на начальный момент времени, или величина капитала, вкладываемого в рассматриваемую операцию. Это стоимость будущих денег, выраженная в сегодняшних ценах.
• Процентная ставка (r, i): Величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
  7 стр., 3041 слов

  Кредитные Деньги в Постзолотой Экономике: Эволюция Сущности, ...

  ... важную роль в современной денежной системе РФ. Эволюция Кредитных Денег и Появление Цифрового Рубля История кредитных денег — это история уменьшения материальной составляющей и увеличения долгового, ... системой, используя актуальные эмпирические данные РФ. Систематизировать эволюцию кредитных денег и определить место цифрового рубля в национальной денежной системе. Оценить риски и возможности, которые ...

  В широком смысле — это отношение суммы процентов, начисленных за определённый период, к основной сумме капитала. Обычно выражается в процентах годовых (например, 10% годовых), но для расчетов переводится в десятичную дробь (0.1).

• Учетная ставка (d, y): Особый вид процентной ставки, при котором проценты начисляются не на первоначальную, а на конечную сумму долга и выплачиваются авансом, в момент предоставления кредита или учета векселя.
• Проценты: Доход от предоставления капитала в долг в различной форме (ссуды, кредиты и т.д.) либо от инвестиций производственного или финансового характера.
• Период начисления: Общий временной интервал, в течение которого начисляются проценты. Он может быть выражен в днях, месяцах, кварталах или годах.
• Интервал начисления: Минимальный промежуток времени, по прошествии которого происходит начисление процентов. Например, если проценты начисляются ежемесячно, то интервал начисления равен одному месяцу.

Концепция временной стоимости денег (ВСД)

Как мы уже отметили, концепция временной стоимости денег утверждает, что деньги, которые есть у нас сейчас, ценнее той же суммы, полученной в будущем. Эта фундаментальная истина лежит в основе большинства финансовых решений. Представьте себе две ситуации: вам предлагают получить 100 000 рублей сегодня или 100 000 рублей через год. Интуитивно большинство выберет первый вариант. Почему?

Во-первых, у вас есть возможность инвестировать эти 100 000 рублей, например, положить их на банковский депозит под 10% годовых. Через год у вас будет уже 110 000 рублей. То есть, 100 000 рублей сегодня эквивалентны 110 000 рублям через год при ставке 10%. И наоборот, чтобы получить 100 000 рублей через год, сегодня вам достаточно вложить 90 909,09 рублей при той же ставке (100 000 / 1.1).

Это и есть сущность дисконтирования.

Во-вторых, инфляция. Цены на товары и услуги со временем растут, и на 100 000 рублей через год вы сможете купить меньше, чем сегодня. Таким образом, будущая сумма теряет свою покупательную способность.

В-третьих, фактор риска. Всегда существует неопределенность относительно того, будут ли будущие денежные потоки получены в срок и в полном объеме. Сегодняшние деньги лишены этой неопределенности.

Дисконтирование как инструмент позволяет учитывать все эти факторы, приводя будущие денежные потоки к их «справедливой» стоимости на сегодняшний день, делая их сопоставимыми и позволяя принимать рациональные финансовые решения. Оно является неотъемлемой частью оценки инвестиций, стоимости бизнеса, пенсионных накоплений и многих других финансовых операций.

Простые и сложные проценты: принципиальные отличия

В зависимости от способа начисления процентов, финансовая математика различает две основные схемы: простые проценты и сложные проценты. Понимание их фундаментальных отличий критически важно, так как именно от этого зависит выбор метода дисконтирования и наращения.

Простые проценты — это наиболее прямолинейный метод начисления. При нем проценты всегда рассчитываются только от первоначальной суммы долга или вклада. База для начисления процентов остается неизменной на протяжении всего срока операции. Представьте, что вы положили 100 000 рублей в банк под 10% годовых на 3 года по схеме простых процентов. Каждый год вам будут начислять по 10% от 100 000 рублей, то есть 10 000 рублей. В конце первого года у вас будет 110 000 рублей, в конце второго — 120 000 рублей, а в конце третьего — 130 000 рублей. Рост суммы происходит линейно, и начисленные проценты не присоединяются к основной сумме для дальнейшего начисления процентов.

Сложные проценты (капитализация процентов) — это более мощный механизм, при котором проценты начисляются не только на первоначальную сумму, но и на проценты, которые уже были начислены за предыдущие периоды и присоединены к основной сумме. Это создает эффект «процентов на проценты». Используя тот же пример: 100 000 рублей под 10% годовых на 3 года по схеме сложных процентов.

• Конец 1-го года: 100 000 ⋅ (1 + 0.1) = 110 000 рублей. Начисленные 10 000 рублей присоединяются к основной сумме.
• Конец 2-го года: 110 000 ⋅ (1 + 0.1) = 121 000 рублей. Проценты уже начисляются на 110 000 рублей.
• Конец 3-го года: 121 000 ⋅ (1 + 0.1) = 133 100 рублей.

Как видно, конечная сумма при сложных процентах (133 100 рублей) значительно больше, чем при простых (130 000 рублей) за тот же период. Рост по сложным процентам является экспоненциальным, что имеет колоссальное значение на длительных временных горизонтах.

Ключевое различие и применение:

Характеристика	Простые проценты	Сложные проценты
База начисления	Всегда первоначальная сумма	Наращенная сумма (первоначальная + накопленные проценты)
Присоединение % к долгу	Проценты не присоединяются, а обычно выплачиваются	Проценты присоединяются к основной сумме (капитализируются)
Характер роста	Линейный	Экспоненциальный
Область применения	Краткосрочные операции (до 1 года), где проценты не успевают капитализироваться или выплачиваются ежепериодно.	Долгосрочные и среднесрочные операции (более 1 года), инвестиции, где важен эффект капитализации.

Понимание этих различий критически важно, так как для определения доходности краткосрочной финансовой операции (менее одного года) обычно используется простая ставка ссудного процента, а для долгосрочной операции – сложная.

Дисконтирование по простым процентам: теоретические основы и основные формулы

Перейдем к сердцу нашего исследования – дисконтированию по простым процентам. Этот метод, несмотря на свою относительную простоту по сравнению со сложными процентами, является незаменимым инструментом в мире краткосрочных финансовых операций. Он позволяет быстро и точно оценить текущую стоимость будущих денежных потоков, что особенно актуально в банковском деле, при учете векселей и краткосрочном кредитовании.

Наращение по простым процентам

Прежде чем говорить о дисконтировании, важно понять процесс наращения, поскольку дисконтирование является его обратной задачей. Наращение по простым процентам — это определение будущей стоимости (FV) первоначальной суммы (PV) с учетом начисленных простых процентов за определенный период. Как было сказано ранее, при начислении простых процентов проценты рассчитываются исключительно от первоначальной суммы и не присоединяются к основному долгу для последующего начисления.

Основная формула для наращения по простым процентам, когда срок ссуды выражен в годах, выглядит так:

FV = PV ⋅ (1 + r ⋅ n)

Где:

• FV — будущая стоимость (наращенная сумма);
• PV — настоящая стоимость (первоначальная сумма);
• r — годовая процентная ставка (выраженная в виде десятичной дроби; например, 10% = 0.1);
• n — срок ссуды (выраженный в годах).

Если срок ссуды задается не в годах, а в днях d, то для приведения его к годовому эквиваленту используется следующая формула:

n = d / K

Где K — число дней в году, которое принято за временную базу (например, 360 или 365 дней).

Мы подробно разберем временные базы позже, но сейчас важно понимать, что n всегда должно быть представлено в виде части года.

Пример расчета наращенной суммы:

Предположим, инвестор вложил 500 000 рублей на 90 дней под простую годовую процентную ставку 12%. Временная база для расчета — 365 дней (то есть, расчет точных процентов с точным числом дней ссуды).

Необходимо определить будущую стоимость вложения.

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• PV = 500 000 рублей
• r = 12% = 0.12
• Срок в днях d = 90 дней
• Временная база K = 365 дней

Шаг 2: Рассчитываем срок n в годах.

n = d / K = 90 / 365 ≈ 0.246575 года

Шаг 3: Применяем формулу наращения.

FV = PV ⋅ (1 + r ⋅ n)

FV = 500 000 ⋅ (1 + 0.12 ⋅ (90 / 365))

FV = 500 000 ⋅ (1 + 0.12 ⋅ 0.246575)

FV = 500 000 ⋅ (1 + 0.029589)

FV = 500 000 ⋅ 1.029589

FV ≈ 514 794.50 рублей

Таким образом, через 90 дней первоначальные 500 000 рублей превратятся в 514 794.50 рублей.

Математическое дисконтирование по простой процентной ставке

Теперь, когда мы понимаем наращение, логично перейти к его обратной стороне – математическому дисконтированию. Если при наращении мы двигались из настоящего в будущее, то при дисконтировании мы возвращаемся из будущего в настоящее, определяя, какой должна быть первоначальная сумма (PV), чтобы при заданной процентной ставке (r) и сроке (n) она превратилась в известную будущую сумму (FV).

Формула математического дисконтирования по простой процентной ставке напрямую выводится из формулы наращения:

FV = PV ⋅ (1 + r ⋅ n)

Чтобы найти PV, необходимо разделить FV на множитель наращения:

PV = FV / (1 + r ⋅ n)

Где:

• PV — настоящая стоимость (первоначальная сумма);
• FV — будущая стоимость (наращенная сумма);
• r — годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби);
• n — срок ссуды (в годах или d / K).

Важно отметить, что разность между будущей стоимостью и настоящей стоимостью (FV − PV) называется дисконтом или скидкой. Именно эта величина отражает стоимость денег во времени, учтенную при дисконтировании, и является фактической платой за возможность получить деньги раньше срока.

Пример расчета настоящей стоимости при математическом дисконтировании:

Предположим, компания ожидает получить платеж в размере 1 200 000 рублей через 180 дней. Текущая рыночная ставка для подобных краткосрочных операций составляет 9% годовых. Временная база для расчета — 360 дней (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды).

Какова настоящая стоимость этого будущего платежа?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• FV = 1 200 000 рублей
• r = 9% = 0.09
• Срок в днях d = 180 дней
• Временная база K = 360 дней

Шаг 3: Применяем формулу математического дисконтирования.

PV = FV / (1 + r ⋅ n)

PV = 1 200 000 / (1 + 0.09 ⋅ 0.5)

PV = 1 200 000 / (1 + 0.045)

PV = 1 200 000 / 1.045

PV ≈ 1 148 325.36 рублей

Таким образом, 1 200 000 рублей, которые будут получены через 180 дней при ставке 9% годовых, эквивалентны примерно 1 148 325.36 рублям сегодня. Дисконт в данном случае составляет 1 200 000 — 1 148 325.36 = 51 674.64 рублей.

Методы дисконтирования по простым процентам: математическое vs. банковское (коммерческое)

В сфере краткосрочных финансовых операций, где применяются простые проценты, существуют два основных метода дисконтирования, которые отличаются подходом к начислению процентов и типом используемой ставки: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Понимание их различий критически важно, поскольку они пр��водят к разным финансовым результатам при одних и тех же исходных данных.

Математическое дисконтирование: декурсивная ставка

Математическое дисконтирование является наиболее логичным и прямолинейным методом, как мы уже видели, представляя собой обратную операцию к наращению первоначальной суммы. Суть его заключается в том, что в качестве нормы приведения используется ставка наращения r, также известная как декурсивная ставка процентов. «Декурсивная» означает, что проценты начисляются в конце периода, то есть «по окончании» (от лат. «decursus» – истечение, окончание).

При математическом дисконтировании подразумевается, что проценты рассчитываются на первоначальную сумму PV, которую мы стремимся найти. Таким образом, дисконт (скидка) определяется относительно этой неизвестной первоначальной суммы.

Формула математического дисконтирования, адаптированная для срока в днях:

PV = FV / (1 + r ⋅ (T / Tгода))

Где:

• PV — настоящая стоимость;
• FV — будущая стоимость;
• r — годовая процентная ставка (декурсивная, в десятичной дроби);
• T — срок операции в днях;
• Tгода — временная база (число дней в году).

Пример расчета PV с акцентом на декурсивную ставку:

Предприятие должно получить 800 000 рублей через 120 дней. Банк предлагает учесть этот будущий платеж по декурсивной ставке 10% годовых. Временная база — 365 дней. Какую сумму предприятие получит сегодня?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• FV = 800 000 рублей
• r = 10% = 0.10
• T = 120 дней
• Tгода = 365 дней

Шаг 2: Применяем формулу математического дисконтирования.

PV = 800 000 / (1 + 0.10 ⋅ (120 / 365))

PV = 800 000 / (1 + 0.10 ⋅ 0.328767)

PV = 800 000 / (1 + 0.0328767)

PV = 800 000 / 1.0328767

PV ≈ 774 597.58 рублей

Предприятие получит сегодня 774 597.58 рублей. Дисконт составит 800 000 — 774 597.58 = 25 402.42 рублей. Позволит ли эта сумма покрыть срочные финансовые обязательства предприятия?

Банковский (коммерческий) учет: антисипативная ставка

Банковский (коммерческий) учет — это метод дисконтирования, который исторически сформировался и широко применяется в банковской практике, особенно при учете векселей и других краткосрочных обязательств. Его ключевое отличие от математического дисконтирования состоит в том, что проценты начисляются не на первоначальную, а на конечную сумму операции (FV) и, что особенно важно, выплачиваются авансом, в момент предоставления ссуды или учета. Для этого метода используется учетная ставка d, также известная как антисипативная ставка процентов. «Антисипативная» означает «выплачиваемая авансом» (от лат. «anticipare» – предвосхищать, делать заранее).

При банковском дисконтировании сумма процентов (FV ⋅ d ⋅ (T / Tгода)) вычитается из будущей стоимости (FV) для определения настоящей стоимости (PV).

Формула банковского дисконтирования:

PV = FV ⋅ (1 - d ⋅ (T / Tгода))

Где:

• PV — настоящая стоимость;
• FV — будущая стоимость;
• d — годовая учетная ставка (антисипативная, в десятичной дроби);
• T — срок операции в днях;
• Tгода — временная база (число дней в году).

Почему d приводит к «более быстрому снижению» PV, чем r при том же численном значении?

Это ключевой момент, который часто вызывает затруднения. Разница проистекает из базы, на которую начисляются проценты:

• Декурсивная ставка r начисляется на начальную сумму (PV).
• Антисипативная ставка d начисляется на конечную сумму (FV).

Давайте рассмотрим числовой пример. Пусть FV = 1000 рублей, срок n = 1 год.

1. Математическое дисконтирование (с r = 10%):
   PV = FV / (1 + r ⋅ n) = 1000 / (1 + 0.10 ⋅ 1) = 1000 / 1.1 = 909.09 рублей.
   Здесь дисконт равен 1000 — 909.09 = 90.91 рублей. Эти 90.91 рублей составляют 10% от 909.09 рублей.

2. Банковское дисконтирование (с d = 10%):
   PV = FV ⋅ (1 - d ⋅ n) = 1000 ⋅ (1 - 0.10 ⋅ 1) = 1000 ⋅ 0.9 = 900 рублей.
   Здесь дисконт равен 1000 — 900 = 100 рублей. Эти 100 рублей составляют 10% от 1000 рублей (конечной суммы).

Как видно из примера, при численно равных ставках (r=10%, d=10%) банковское дисконтирование приводит к меньшей настоящей стоимости (PV = 900) по сравнению с математическим дисконтированием (PV = 909.09).

Это объясняется тем, что дисконт (100 рублей) в случае банковского учета рассчитывается от большей базы (FV = 1000 рублей), а в случае математического дисконтирования (90.91 рублей) — от меньшей базы (PV = 909.09 рублей).

Таким образом, антисипативная ставка d эффективно «снимает» большую сумму процентов заранее, что приводит к более значительному уменьшению настоящей стоимости.

Пример расчета PV с акцентом на антисипативную ставку:

Банк учитывает вексель на сумму 500 000 рублей со сроком погашения через 60 дней по учетной ставке 8% годовых. Временная база — 360 дней. Какую сумму получит владелец векселя при его учете?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• FV = 500 000 рублей
• d = 8% = 0.08
• T = 60 дней
• Tгода = 360 дней

Шаг 2: Применяем формулу банковского дисконтирования.

PV = 500 000 ⋅ (1 - 0.08 ⋅ (60 / 360))

PV = 500 000 ⋅ (1 - 0.08 ⋅ (1 / 6))

PV = 500 000 ⋅ (1 - 0.013333)

PV = 500 000 ⋅ 0.986667

PV ≈ 493 333.5 рублей

Владелец векселя получит сегодня 493 333.5 рублей. Дисконт составит 500 000 — 493 333.5 = 6 666.5 рублей. Этот метод широко используется в финансовой практике для быстрого получения ликвидности.

Сравнительный анализ математического и банковского дисконтирования

Для наглядности сведем ключевые отличия двух методов в таблицу:

Характеристика	Математическое дисконтирование (декурсивная ставка r)	Банковский (коммерческий) учет (антисипативная ставка d)
Используемая ставка	Ставка наращения r (декурсивная)	Учетная ставка d (антисипативная)
База начисления %	Первоначальная сумма PV (неизвестная)	Будущая сумма FV (известная)
Момент начисления/удержания %	В конце срока (при наращении)	В начале срока (авансом, при дисконтировании)
Формула	PV = FV / (1 + r ⋅ n)	PV = FV ⋅ (1 - d ⋅ n)
Эффект на PV	При равных численных значениях r и d, дает более высокое PV	При равных численных значениях r и d, дает более низкое PV
Область применения	Теоретические расчеты, общее приведение будущих потоков	Учет векселей, краткосрочное банковское кредитование

Понимание этих различий позволяет выбрать адекватный метод для анализа конкретной финансовой операции и избежать ошибок в расчетах.

Временные базы: стандарты и влияние на расчеты

Временной горизонт финансовых операций, особенно краткосрочных, часто выражается в днях. Однако для пересчета этих дней в доли года, необходимые для применения годовых процентных ставок, требуется установить временную базу – количество дней, принимаемое за условный год. От выбора этой базы и способа подсчета дней ссуды напрямую зависит конечный результат расчетов. Это тонкий, но крайне важный аспект финансовой математики, который может существенно повлиять на доходность или стоимость операции.

Определение и виды временных баз

Временная база для расчета процентов (Tгода или K) — это количество дней, которое принимается за условное число дней в году при расчете процентов. Традиционно различают два основных подхода к учету дней:

• Точные проценты: Год принимается равным фактическому числу дней (365 или 366 для високосного года).

  Число дней ссуды также подсчитывается точно.

• Обыкновенные проценты: Год условно принимается равным 360 дням. Число дней ссуды может подсчитываться как точно, так и приближенно (принимая каждый месяц за 30 дней).

Эти два подхода к количеству дней в году и способ подсчета дней ссуды формируют различные комбинации, которые называют временными базами.

Основные варианты расчета процентов

На практике сформировались три наиболее распространенных метода расчета процентов, каждый из которых имеет свои особенности и области применения:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365 или Actual/Actual):

   • Описание: В этом методе за число дней в году берется фактическое количество дней (365 или 366 в високосном году).

     Число дней ссуды (dточно) также подсчитывается точно, исключая день выдачи ссуды и включая день ее погашения.

   • Формула: n = dточно / 365 (или 366).
   • Применение: Этот метод часто называют «британским» или «английским». Он является наиболее точным и обычно используется в расчетах Центрального банка РФ и Министерства финансов РФ, в международных финансовых операциях, при расчете доходности по государственным облигациям и долгосрочным инструментам.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360 или Actual/360):

   • Описание: Этот метод известен как «французский» или «банковский». Здесь число дней в году условно принимается за 360, в то время как число дней ссуды (dточно) подсчитывается точно.
   • Формула: n = dточно / 360.
   • Особенность: Поскольку знаменатель меньше, чем в методе 365/365, при прочих равных условиях этот метод приводит к большему значению n и, соответственно, к большему размеру начисленных процентов или дисконта. Банки часто используют его для увеличения своего дохода по кредитам или дисконта по векселям, поэтому он и получил название «банковского».

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360 или 30/360):

   • Описание: Этот метод называют «германским» или «коммерческим». Как число дней в году, так и число дней ссуды подсчитывается по условной схеме: каждый месяц принимается равным 30 дням, а год — 360 дням.
   • Формула: n = dприближ / 360.
   • Применение: Упрощает расчеты, особенно в ручном режиме, но может быть менее точным. Применяется в некоторых коммерческих операциях и при расчете процентов по облигациям на вторичном рынке.

При дисконтировании по учетной ставке d чаще всего используются временные базы 360/360 или 360/365, особенно в операциях учета векселей.

Влияние временных баз на результат дисконтирования

Выбор временной базы оказывает прямое влияние на значение срока n (доли года), который, в свою очередь, определяет величину процентов или дисконта.

Рассмотрим пример с дисконтированием:

Предположим, будущая сумма FV = 1 000 000 рублей, годовая процентная ставка r = 10%, срок операции = 90 дней.

Случай 1: Метод 365/365 (британский)

• n = 90 / 365 ≈ 0.246575
• PV = 1 000 000 / (1 + 0.10 ⋅ (90 / 365)) = 1 000 000 / (1 + 0.0246575) = 1 000 000 / 1.0246575 ≈ 975 930.56 рублей

Случай 2: Метод 365/360 (французский/банковский)

• n = 90 / 360 = 0.25
• PV = 1 000 000 / (1 + 0.10 ⋅ (90 / 360)) = 1 000 000 / (1 + 0.025) = 1 000 000 / 1.025 ≈ 975 609.76 рублей

Случай 3: Метод 360/360 (германский)

• Допустим, приближенное число дней ссуды также 90 дней.
• n = 90 / 360 = 0.25
• PV = 1 000 000 / (1 + 0.10 ⋅ (90 / 360)) = 1 000 000 / (1 + 0.025) = 1 000 000 / 1.025 ≈ 975 609.76 рублей

Сравнительная таблица результатов:

Метод	n (доля года)	PV (руб.)	Дисконт (руб.)
365/365	0.246575	975 930.56	24 069.44
365/360	0.25	975 609.76	24 390.24
360/360	0.25	975 609.76	24 390.24

Выводы из примера:

• Методы 365/360 и 360/360 дают одинаковый результат в данном примере, поскольку n оказывается одинаковым (0.25).

  Однако в реальной жизни при подсчете dприближ могут возникать небольшие отличия.

• Метод 365/365 приводит к наименьшему дисконту и, соответственно, к наибольшей настоящей стоимости (PV).

  Это означает, что при использовании этой базы за тот же фактический срок начисляется меньше процентов, чем при базе 360 дней.

• Методы с базой 360 дней (365/360 и 360/360) приводят к большему дисконту и меньшей настоящей стоимости (PV), поскольку они искусственно «увеличивают» срок операции относительно годовой ставки, что выгодно кредиторам.

Таким образом, выбор временной базы не является чисто техническим моментом; он имеет прямые финансовые последствия, влияя на итоговую сумму процентов, получаемую или уплачиваемую сторонами финансовой сделки. В российской практике, в зависимости от типа операции и регулирующего органа, могут применяться различные базы, что требует внимательности при заключении договоров и проведении расчетов.

Эквивалентность процентной (r) и учетной (d) ставок

В финансовой математике часто возникает ситуация, когда необходимо сравнить или пересчитать ставки, которые по своей природе различны – например, декурсивную ставку наращения r и антисипативную учетную ставку d. Они используются в разных моделях дисконтирования и наращения, но для корректного анализа и выбора наиболее выгодных условий бывает необходимо привести их к общему знаменателю. Именно для этого и существует принцип эквивалентности процентных ставок.

Декурсивная и антисипативная ставки: сущность и применение

Прежде чем углубиться в формулы эквивалентности, давайте еще раз четко разграничим две основные категории ставок, с которыми мы работаем:

• Декурсивная ставка (r, i): Эта ставка выплачивается в конце срока вместе с основной суммой кредита (или вклада).

  Она представляет собой отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода. Декурсивные ставки используются в традиционных кредитных договорах, депозитах, где проценты начисляются на первоначальную сумму или нарастающий остаток. Они являются основой для математического дисконтирования.

  • Пример: Вы положили 100 000 рублей на депозит под 10% годовых. Через год вы получаете 100 000 + 10 000 = 110 000 рублей. Проценты (10 000) составили 10% от начальной суммы (100 000).

• Антисипативная ставка (d, y): Эта ставка, напротив, выплачивается в момент предоставления кредита (авансом) и определяется на основании конечной суммы долга. Сумма процентных денег при этом определяется исходя из будущей (наращенной) суммы. Антисипативные ставки характерны для операций банковского учета векселей, когда банк заранее удерживает проценты из суммы векселя.

  • Пример: Вы предъявляете вексель на 100 000 рублей со сроком погашения через год, и банк учитывает его по антисипативной ставке 10%. Банк сразу же удерживает 10% от 100 000, т.е. 10 000 рублей, и выдает вам 90 000 рублей. В конце года вы (или банк) получите 100 000 рублей.

Принцип эквивалентности процентных ставок

Эквивалентные процентные ставки — это такие ставки разного вида (например, r и d), применение которых при одинаковых начальных условиях и сроках операции дает абсолютно одинаковые финансовые результаты, то есть приводит к одной и той же наращенной или дисконтированной сумме.

Почему принцип эквивалентности важен?

1. Сравнение финансовых инструментов: Различные банки или финансовые институты могут предлагать продукты с разными типами ставок. Чтобы сделать объективный выбор, необходимо привести все ставки к единому виду, иначе сравнение будет некорректным.
2. Унификация расчетов: Внутри одной компании или в международной практике может потребоваться стандартизация расчетов, что достигается через пересчет ставок.
3. Анализ доходности: При оценке реальной доходности операции, особенно при наличии авансовых платежей, необходимо понимать, какой декурсивной ставке соответствует учетная ставка, и наоборот, чтобы избежать искажений в оценке.

Принцип эквивалентности позволяет «переводить» финансовые условия из одной системы координат в другую, сохраняя при этом финансовые последствия неизменными. Это дает возможность выбрать наиболее выгодные условия без изменения финансовых результатов для сторон.

Формулы пересчета эквивалентных ставок

Рассмотрим вывод и применение формул эквивалентности для операций с продолжительностью менее года, когда применяются простые проценты.

Вывод формул эквивалентности для одинаковой временной базы K:

Для того чтобы ставки r и d были эквивалентны, они должны приводить к одной и той же настоящей стоимости PV из одной и той же будущей стоимости FV за один и тот же срок n = t / K.

Из математического дисконтирования: PV = FV / (1 + r ⋅ (t / K)) (1)
Из банковского дисконтирования: PV = FV ⋅ (1 - d ⋅ (t / K)) (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):
FV / (1 + r ⋅ (t / K)) = FV ⋅ (1 - d ⋅ (t / K))

Разделим обе части на FV (при условии, что FV ≠ 0):
1 / (1 + r ⋅ (t / K)) = 1 - d ⋅ (t / K)

Формула для пересчета r в d:
Из 1 / (1 + r ⋅ (t / K)) = 1 - d ⋅ (t / K)
d ⋅ (t / K) = 1 - 1 / (1 + r ⋅ (t / K))
d ⋅ (t / K) = (1 + r ⋅ (t / K) - 1) / (1 + r ⋅ (t / K))
d ⋅ (t / K) = (r ⋅ (t / K)) / (1 + r ⋅ (t / K))
Разделим обе части на (t / K) (при условии, что t / K ≠ 0):
d = r / (1 + r ⋅ (t / K))

Формула для пересчета d в r:
Из 1 / (1 + r ⋅ (t / K)) = 1 - d ⋅ (t / K)
1 + r ⋅ (t / K) = 1 / (1 - d ⋅ (t / K))
r ⋅ (t / K) = 1 / (1 - d ⋅ (t / K)) - 1
r ⋅ (t / K) = (1 - (1 - d ⋅ (t / K))) / (1 - d ⋅ (t / K))
r ⋅ (t / K) = (d ⋅ (t / K)) / (1 - d ⋅ (t / K))
Разделим обе части на (t / K):
r = d / (1 - d ⋅ (t / K))

Итак, для одинаковой временной базы K:

• r = d / (1 - d ⋅ (t / K))
• d = r / (1 + r ⋅ (t / K))

Где t — срок операции в днях, K — временная база в днях.

Формулы эквивалентности для разных временных баз:

На практике часто встречается ситуация, когда процентная ставка r ориентирована на базу 365 дней, а учетная ставка d – на 360 дней. В этом случае требуется более сложный пересчет.

Пусть nr = t / 365 и nd = t / 360.

Тогда формулы принимают вид:

• Для r (которая относится к базе 365 дней), если известна d (которая относится к базе 360 дней):
  r = (d ⋅ 365) / (360 - d ⋅ t)
• И наоборот, для d (которая относится к базе 360 дней), если известна r (которая относится к базе 365 дней):
  d = (r ⋅ 360) / (365 + r ⋅ t)

Пример использования формул эквивалентности:

Банк предлагает учет векселей по учетной ставке d = 9% годовых, при этом временная база для учета — 360 дней. Срок векселя — 120 дней. Какова эквивалентная декурсивная ставка r, если она рассчитывается исходя из 365 дней в году?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• d = 9% = 0.09
• t = 120 дней
• Kr = 365 дней (для r)
• Kd = 360 дней (для d)

Шаг 2: Применяем формулу пересчета d в r для разных баз.

r = (d ⋅ 365) / (360 - d ⋅ t)

r = (0.09 ⋅ 365) / (360 - 0.09 ⋅ 120)

r = 32.85 / (360 - 10.8)

r = 32.85 / 349.2

r ≈ 0.094065

Шаг 3: Переводим результат в проценты.

r ≈ 9.41%

Таким образом, учетная ставка 9% (база 360 дней) эквивалентна декурсивной ставке примерно 9.41% (база 365 дней) для операции сроком 120 дней. Это означает, что если вы сравниваете два предложения — одно с учетной ставкой 9% (360/360) и другое с декурсивной ставкой 9.41% (365/365) на 120 дней, то финансовый результат от них будет одинаковым. Без такого пересчета некорректно сравнивать эти ставки «в лоб», что является частой ошибкой неопытных финансистов.

Практическое применение и ограничения дисконтирования по простым процентам

Дисконтирование по простым процентным ставкам, несмотря на свою методологическую простоту, является ценным инструментом в арсенале финансиста. Однако, как и любой другой метод, оно имеет свои четкие границы применимости и определенные допущения. Понимание этих аспектов критически важно для корректного использования инструмента и избегания ошибок в финансовом анализе.

Области применения

Начисление простых процентов, а следовательно, и дисконтирование по ним, обычно используется в двух основных случаях:

1. При заключении краткосрочных контрактов: Это могут быть предоставление краткосрочных кредитов, депозиты, форвардные контракты и другие операции, срок которых не превышает одного года (n ≤ 1).
2. Когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются: В этом случае база для начисления процентов остается неизменной, даже если срок операции длится более года.

Перечислим основные области, где этот метод находит свое практическое применение:

• Учет векселей: Это одна из классических и наиболее распространенных областей применения банковского дисконтирования. Банк приобретает вексель у его владельца до наступления срока погашения, удерживая из номинальной стоимости векселя дисконт, рассчитанный по учетной ставке. Это позволяет владельцу векселя получить денежные средства немедленно, хоть и в меньшем объеме.
• Краткосрочное кредитование: Многие краткосрочные банковские кредиты, особенно для юридических лиц, могут использовать схему простых процентов. Например, овердрафты, краткосрочные займы «до зарплаты» или межбанковские кредиты на несколько дней или недель.
• Оценка бескупонных облигаций (дисконтных облигаций): Такие облигации продаются со скидкой (дисконтом) к их номинальной стоимости и погашаются по номиналу в конце срока. Доход инвестора формируется за счет разницы между ценой покупки и номиналом. Для облигаций с относительно коротким сроком до погашения (обычно до одного года) применяется простое дисконтирование их номинальной стоимости для определения текущей рыночной цены.
• Расчет дохода по краткосрочным депозитам: Если банк предлагает депозит на срок до года с выплатой процентов в конце срока или ежемесячно без капитализации, то доход рассчитывается по простым процентам.
• Потребительские кредиты и рассрочки платежей: В некоторых случаях потребительского кредитования или рассрочки платежей, особенно если сумма процентов заранее фиксирована и распределена на весь срок, могут применяться простые проценты. Однако здесь есть важный юридический нюанс для России: согласно пункту 2 статьи 317.1 Гражданского кодекса РФ, начисление сложных процентов (процентов на проценты) в потребительском кредитовании, как правило, запрещено. Это означает, что при расчете процентов по потребительским кредитам банк не может начислять проценты на ранее начисленные, но не уплаченные проценты, тем самым ограничивая применение схемы сложных процентов.

Ограничения и допущения

Несмотря на свою полезность, дисконтирование по простым процентам не является универсальным инструментом и имеет ряд значительных ограничений:

• Ограничение по сроку: Простые проценты применимы преимущественно для финансовых операций со сроком менее одного года. Для более длительных периодов их использование становится экономически невыгодным для кредитора (или выгодно заемщику) и методологически некорректным, так как они не учитывают фактор реинвестирования процентов.
• Отсутствие капитализации процентов: Ключевое допущение простых процентов заключается в том, что начисленные проценты не присоединяются к основной сумме долга. Это означает, что проценты не начисляются на ранее начисленные проценты, что и отличает их от сложных процентов. Если проценты не выплачиваются сразу после начисления, а фактически присоединяются к сумме долга, то для наращения целесообразнее (и правильнее) применять сложные проценты, так как происходит капитализация.

• Концепция «атомарного» применения: Простые проценты на практике применимы только на «атомарном» (неделимом) уровне. Это означает, что проценты начисляются строго на неизменную первоначальную сумму вклада (долга) в течение всего срока операции, а выплата процентов и основной суммы происходит однократно в конце срока. Любое изменение первоначальной суммы в течение срока (например, частичное погашение долга, досрочная выплата процентов или их присоединение к основной сумме) фактически приводит к капитализации и изменяет базу начисления процентов. В таком случае схема перестает быть простыми процентами и фактически переходит в категорию сложных процентов или требует более сложной методологии расчета (например, модифицированные простые проценты).

  Использование простых процентов в таких ситуациях будет методологически некорректным.

  Это принципиальный момент, указывающий на ограниченность простых процентов при работе с динамически изменяющимися финансовыми потоками.

Сравнительный анализ с дисконтированием по сложным процентам

Чтобы еще лучше понять контекст применения простых процентов, проведем краткий сравнительный анализ с дисконтированием по сложным процентам.

Характеристика	Простые проценты	Сложные проценты
База начисления	Постоянная (первоначальная сумма)	Переменная (увеличивается с каждым периодом за счет капитализации)
Прирост капитала	Линейный (равномерный)	Экспоненциальный (ускоряющийся)
Применимость срока	Краткосрочные операции (до 1 года)	Среднесрочные и долгосрочные операции (более 1 года)
Эффект реинвестирования	Не учитывается	Учитывается (проценты на проценты)
Формула наращения	FV = PV ⋅ (1 + r ⋅ n)	FV = PV ⋅ (1 + r)n
Формула дисконтирования	PV = FV / (1 + r ⋅ n)	PV = FV / (1 + r)n

Из таблицы видно, что для долгосрочных инвестиций и кредитов, где эффект капитализации играет значительную роль, применение сложных процентов является не только предпочтительным, но и единственно корректным подходом. Дисконтирование по сложным процентам позволяет более точно оценить реальную стоимость будущих денежных потоков в долгосрочной перспективе, учитывая потенциал для реинвестирования полученных доходов. И это именно то, что отличает продвинутого финансиста от новичка.

Таким образом, дисконтирование по простым процентным ставкам — это фундаментальный, но узкоспециализированный инструмент, незаменимый для краткосрочных и специфических финансовых операций, где эффект капитализации либо отсутствует, либо незначителен.

Определение неизвестных параметров в задачах дисконтирования

В финансовой практике не всегда известны все параметры операции. Иногда бывает необходимо определить срок операции, если известны начальная и конечная суммы и процентная ставка, или, наоборот, найти процентную ставку, зная суммы и срок. Благодаря алгебраической взаимосвязи между компонентами формул наращения и дисконтирования по простым процентам, такие задачи легко решаемы.

Расчет процентной ставки r (математическое дисконтирование)

Из базовой формулы наращения по простым процентам FV = PV ⋅ (1 + r ⋅ n) можно выразить процентную ставку r.

Формула:

FV / PV = 1 + r ⋅ n

(FV / PV) - 1 = r ⋅ n

r = ((FV / PV) - 1) / n

Где:

• r — искомая годовая процентная ставка;
• FV — будущая стоимость;
• PV — настоящая стоимость;
• n — срок ссуды (в годах или d / K).

Пример: Пошаговый расчет r

Инвестор вложил 700 000 рублей, и через 150 дней получил 720 000 рублей. Какова годовая простая процентная ставка, по которой была проведена операция, если временная база составляет 365 дней?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• PV = 700 000 рублей
• FV = 720 000 рублей
• dсрок = 150 дней
• K = 365 дней

Ша2: Рассчитываем срок n в годах.

n = 150 / 365 ≈ 0.410959 года

Шаг 3: Применяем формулу для расчета r.

r = ((720 000 / 700 000) - 1) / (150 / 365)

r = (1.028571 - 1) / 0.410959

r = 0.028571 / 0.410959

r ≈ 0.069519

Шаг 4: Переводим результат в проценты.

r ≈ 6.95% годовых.

Расчет срока n (математическое дисконтирование)

Аналогично, из той же формулы наращения можно выразить срок n.

Формула:

FV / PV = 1 + r ⋅ n

(FV / PV) - 1 = r ⋅ n

n = ((FV / PV) - 1) / r

Где:

• n — искомый срок ссуды в годах;
• FV — будущая стоимость;
• PV — настоящая стоимость;
• r — годовая процентная ставка.

Пример: Пошаговый расчет n

Каков должен быть срок депозита (в днях, временная база 360 дней), чтобы первоначальные 1 000 000 рублей превратились в 1 050 000 рублей при годовой простой процентной ставке 10%?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• PV = 1 000 000 рублей
• FV = 1 050 000 рублей
• r = 10% = 0.10
• K = 360 дней

Шаг 2: Применяем формулу для расчета n в годах.

n = ((1 050 000 / 1 000 000) - 1) / 0.10

n = (1.05 - 1) / 0.10

n = 0.05 / 0.10

n = 0.5 года

Шаг 3: Переводим срок из годов в дни.

dсрок = n ⋅ K = 0.5 ⋅ 360 = 180 дней

Таким образом, срок депозита должен составлять 180 дней.

Расчет учетной ставки d (банковское дисконтирование)

Из формулы банковского дисконтирования PV = FV ⋅ (1 - d ⋅ n) можно выразить учетную ставку d.

Формула:

PV / FV = 1 - d ⋅ n

d ⋅ n = 1 - (PV / FV)

d = (1 - (PV / FV)) / n

Где:

• d — искомая годовая учетная ставка;
• FV — будущая стоимость;
• PV — настоящая стоимость;
• n — срок ссуды (в годах или dсрок / K).

Пример: Пошаговый расчет d

Вексель номиналом 800 000 рублей был учтен за 780 000 рублей за 60 дней до погашения. Какова годовая учетная ставка, использованная банком (временная база 360 дней)?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• FV = 800 000 рублей
• PV = 780 000 рублей
• dсрок = 60 дней
• K = 360 дней

Шаг 2: Рассчитываем срок n в годах.

n = 60 / 360 ≈ 0.166667 года

Шаг 3: Применяем формулу для расчета d.

d = (1 - (780 000 / 800 000)) / (60 / 360)

d = (1 - 0.975) / 0.166667

d = 0.025 / 0.166667

d ≈ 0.14999

Шаг 4: Переводим результат в проценты.

d ≈ 15% годовых.

Расчет срока n (банковское дисконтирование)

Наконец, из формулы банковского дисконтирования можно выразить срок n.

Формула:

PV / FV = 1 - d ⋅ n

d ⋅ n = 1 - (PV / FV)

n = (1 - (PV / FV)) / d

Где:

• n — искомый срок ссуды в годах;
• FV — будущая стоимость;
• PV — настоящая стоимость;
• d — годовая учетная ставка.

Пример: Пошаговый расчет n

Вексель номиналом 1 500 000 рублей был учтен по учетной ставке 12% годовых (временная база 365 дней) за 1 475 000 рублей. За сколько дней до погашения был учтен вексель?

Шаг 1: Определяем известные параметры.

• FV = 1 500 000 рублей
• PV = 1 475 000 рублей
• d = 12% = 0.12
• K = 365 дней

Шаг 2: Применяем формулу для расчета n в годах.

n = (1 - (1 475 000 / 1 500 000)) / 0.12

n = (1 - 0.983333) / 0.12

n = 0.016667 / 0.12

n ≈ 0.138892 года

Шаг 3: Переводим срок из годов в дни.

dсрок = n ⋅ K = 0.138892 ⋅ 365 ≈ 50.69 дней

Округляем до целого числа дней: dсрок ≈ 51 день. Эти примеры демонстрируют гибкость формул дисконтирования по простым процентам и их применимость для решения различных задач по определению неизвестных параметров в финансовых операциях, что подтверждает их универсальность в рамках краткосрочных расчетов.

Заключение

В нашем путешествии по миру финансовой математики мы детально разобрали концепцию дисконтирования по простым процентным ставкам. От фундаментальной идеи временной стоимости денег, которая заставляет нас по-новому взглянуть на ценность будущих денежных потоков, до тонкостей различий между математическим и банковским дисконтированием, мы постарались осветить каждый аспект этого важного инструмента.

Мы выяснили, что дисконтирование по простым процентам — это не просто набор формул, а логически стройная система, позволяющая приводить будущие суммы к их текущему эквиваленту. Простые проценты, хотя и ограничены в своем применении преимущественно краткосрочными операциями, являются краеугольным камнем для понимания более сложных финансовых моделей. Мы увидели, как выбор временной базы, будь то 365/365, 365/360 или 360/360, может существенно изменить конечный результат, подчеркивая важность внимательности к деталям в финансовых расчетах. Отдельное внимание было уделено взаимосвязи декурсивной (r) и антисипативной (d) ставок, демонстрируя, как пересчет между ними обеспечивает корректность сравнений и адекватность анализа финансовых инструментов. Наконец, мы рассмотрели реальные сценарии применения простых процентов в таких операциях, как учет векселей или краткосрочное кредитование, а также обозначили их методологические ограничения, проводя сравнительный анализ со сложными процентами.

Это руководство, насыщенное пошаговыми примерами и глубокими разъяснениями, призвано стать незаменимым подспорьем для студентов экономических и финансовых специальностей. Оно не только поможет успешно справиться с контрольными работами, но и заложит прочный фундамент для дальнейшего изучения финансового анализа, инвестирования и банковского дела. Умение грамотно применять принципы дисконтирования по простым процентным ставкам — это не просто академический навык, а практическая компетенция, открывающая двери к пониманию сложнейших финансовых механизмов и принятию взвешенных решений в динамичном мире экономики.

Список использованной литературы

1. Финансовая математика: учебное пособие / А.Н. Гаврилова, А.А. Протасова, Ю.Н. Калинникова. – М.: Финансовый университет, 2019.
2. Финансовая математика: учебное пособие / В.А. Чурбанова, В.О. Шахов. – Воронеж: Воронежский государственный университет, 2019.
3. Финансовая математика: учебное пособие / И.Н. Старостенко, А.А. Протасова, Ю.Н. Калинникова. – М.: Финансовый университет, 2019.
4. Учебное пособие по финансовой грамотности для студентов неэкономических специальностей / В.В. Шинкарева, Е.Ю. Юсупова. — Оренбург: ОГУ, 2021.
5. Большой экономический словарь / А.Б. Борисов. – [Б. м.]: Банк Точка. URL: https://www.tochka.com/glossary/prostye-protsenty/ (дата обращения: 08.10.2025).
6. Сложные проценты: что это, как считать сложный процент, формула / Банки.ру. URL: https://www.banki.ru/news/daytheme/?id=9833446 (дата обращения: 08.10.2025).
7. Оценка бизнеса: учебник / Под ред. А. Г. Грязновой, М. А. Федотовой. Глава 12: Основы финансовой математики для выполнения оценочной деятельности. URL: https://www.ocenkagk.ru/ocenka_biznesa_chast_2/glava_12/ (дата обращения: 08.10.2025).
8. Элементы финансовой математики. Лекция 3: Сложные проценты / НОУ ИНТУИТ. URL: https://www.intuit.ru/studies/courses/106/106/lecture/3052?page=1 (дата обращения: 08.10.2025).
9. Простой процент: что это? Формула. Отличие от сложных / bytwork.com. URL: https://bytwork.com/articles/prostoy-procent-chto-eto-formula-otlichie-ot-slozhnyh (дата обращения: 08.10.2025).
10. Большой экономический словарь / А.Б. Борисов. – [Б. м.]: Банк Точка. URL: https://www.tochka.com/glossary/vremennaya-baza-dlya-rascheta-protsentov/ (дата обращения: 08.10.2025).
11. Дисконтирование по простым процентам, Математическое дисконтирование, Банковский или коммерческий учет, Определение процентной ставки и срока проведения операции / Studme.org. URL: https://studme.org/168205/finansy/diskontirovanie_prostym_protsentam (дата обращения: 08.10.2025).
12. Формулы финансовой математики / МатБюро. URL: https://www.matburo.ru/sub_subject.php?p=fm_form (дата обращения: 08.10.2025).
13. Сложные проценты: что это и где применяются / Совкомбанк. URL: https://sovcombank.ru/blog/slozhnie-protsenty-chto-eto-i-gde-primeniautsia (дата обращения: 08.10.2025).
14. Временная стоимость денег / USAID/CARANA Corporation. Раздел 17. URL: https://www.usaid.gov/sites/default/files/documents/1862/17.pdf (дата обращения: 08.10.2025).
15. Наращение и дисконтирование с использованием схемы простых процентов / СтудИзба. URL: https://studizba.com/lectures/113-finansy-kredit/149-finansovaya-matematika/4488-naraschenie-i-diskontirovanie-s-ispolzovaniem-shemy-prostyh-procentov.html (дата обращения: 08.10.2025).
16. Ставка процента и временная стоимость денег / КонсультантПлюс. URL: https://www.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc&base=CMB&n=18210 (дата обращения: 08.10.2025).
17. Математическое и банковское дисконтирование в задачах финансовой математики / Назарова Е. Н., Новиков С. Я. // Самарский национальный исследовательский университет им. С. П. Королева, 2017. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-i-bankovskoe-diskontirovanie-v-zadachah-finansovoy-matematiki/viewer (дата обращения: 08.10.2025).
18. Справочный коммерческий словарь. Что такое простые проценты? URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/econ_dict/18790 (дата обращения: 08.10.2025).
19. Словари и энциклопедии на Академике. ВРЕМЕННАЯ БАЗА ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОЦЕНТОВ. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/econ_dict/18790 (дата обращения: 08.10.2025).
20. Элементы финансовой математики, Декурсивный способ / Studme.org. URL: https://studme.org/168205/finansy/dekursivnyy_sposob (дата обращения: 08.10.2025).
21. Начисление процентов, математическое и банковское дисконтирование / ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/osnovy-finansovoi-gramotnosti/10-klass/finansovye-mehanizmy-raboty-predpriiatiia-18231/metod-privedennykh-denezhnykh-potokov-18232/re-1c251d18-ae71-41a3-b261-0d3a7d45a73e (дата обращения: 08.10.2025).
22. Проценты и дисконтирование в финансовом менеджменте / Элитариум. URL: https://www.elitarium.ru/procenty-i-diskontirovanie-v-finansovom-menedzhmente/ (дата обращения: 08.10.2025).
23. Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений / e-xecutive.ru. URL: https://www.e-xecutive.ru/finance/investments/1435728-sposoby-opredeleniya-sovremennoi-stoimosti-deneg-i-naraschennoi-summy-vlozhenii (дата обращения: 08.10.2025).
24. Учет фактора времени в финансовых расчетах / Profiz.ru. URL: https://profiz.ru/sr/2_2003/fin_raschet/ (дата обращения: 08.10.2025).
25. Как считать стоимость денег в будущем / SberCIB. URL: https://www.sberbank-cib.ru/ru/analytics/glossary/kak-schitat-stoimost-deneg-v-budushchem (дата обращения: 08.10.2025).
26. Стоимость денег, типы процентов, дисконтирование и форвардные ставки. Ликбез для гика, ч.1 / Хабр. URL: https://habr.com/ru/articles/503070/ (дата обращения: 08.10.2025).
27. Понятие временной базы. Методики начисления процентов / StudFiles. URL: https://studfile.net/preview/4476059/page:2/ (дата обращения: 08.10.2025).
28. Финансовая математика: учебное пособие / Л.Н. Марченко, Л.В. Федосенко, Ю.С. Боярович; М-во образования РБ, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2014.
29. Финансовая математика: учебное пособие / С.А. Лавренюк, Н.Н. Лавренюк. – Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2016.
30. Финансовая математика. Конспект лекций / Н.А. Устинова. – Санкт-Петербург: СПбГЭУ, 2015.
31. Финансовая математика: учебное пособие / Белорусско-Российский университет. – Могилев, 2017.
32. Финансовая математика: учебное пособие / И.А. Коноплева, М.В. Прокофьева. – Новосибирск: Новосибирский государственный университет экономики и управления, 2012.
33. Финансовая математика: учеб. пособие для студентов / А.Н. Семенков, В.И. Семенкова, Е.В. Смирнова, Е.А. Семенкова. – Омск: Изд-во ОмГУ, 2012.
34. Финансовая математика. Учебное пособие / В.И. Лясковец, О.Е. Насырова. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2013.
35. Финансовые вычисления в математической экономике с применением MS Excel: Учебное пособие / Д.А. Зикеева, Е.М. Рожкова, В.В. Рожков. – Тамбов: Изд-во ТГУ им. Г.Р. Державина, 2009.